“令f(x)=x3+2x+1。当x＞1时，(x+1/2)3＜ f(x)＜(x+1)3。

这意味着，f(x)被夹在两个连续整数的立方之间，它本身不可能是立方数……这个没用。”

“回到模运算。

模x，得1≡2?(mod x)；模x+1，得-2≡2?(mod x+1)……”

无数条思路在他脑海中并行不悖，然后一一剪枝。

最终，一条金色的、最优的路径，被点亮了。

“解法确定，跳过。”

分析完第一题之后，许燃的意识瞬间切换到了第二道题。

【第二题：代数，多元不等式证明】

形式丑陋的不等式，在思维殿堂中，被转化成了一个三维空间里的曲面。

【暴力计算路径】

“齐次化，构造……使用拉格朗日乘数法？计算量堪比小型计算机，放弃。”

“琴生不等式？需要先证明函数凸性，过程繁琐，放弃。”

“权方和不等式、切比雪夫不等式、舒尔不等式……所有能用的工具，全部加载，进行组合尝试。”

就像一台超级计算机，许燃的其中一个线程，在穷举着所有可能的经典不等式组合，硬碰硬地进行暴力破解。

【几何直观路径】

“将不等式视为一个几何约束条件。它的几何意义是什么？”

“这是一个关于‘距离’的不等式吗？”

“或者，它代表了某个‘体积’或‘面积’的极值？”

许燃的目光，仿佛穿透了代数符号的表象，看到了其背后隐藏的几何本质。

“原来如此……出题人将一个向量不等式，用代数的形式给‘加密’了。”

在他脑中，那串复杂的代数式，被翻译成了一句简洁的几何语言：

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在一个特定的向量空间中，几个向量的和向量的模长，不小于它们模长之和的某个加权平均。

“这不就是闵可夫斯基不等式的推广形式吗？”

“找到问题的本质，剩下的，就只是简单的证明了。”

“解法确定，跳过。”

最后，他的意识，来到了那座最高的、最恐怖的山峰面前。

【第三题：组合，K?图的边染色构造】

“在一个完全图K??中，用红蓝两种颜色对边进行染色，要求构造出一种染色方案，使得图中不存在纯红色的K?子图，也不存在纯蓝色的K?子图。”

这是拉姆齐理论中的一个具体数值问题。

R(4， 5)= 25，这意味着在K??中，必然存在红色K?或蓝色K?。

但在K??中，是否存在一种可以“规避”的方案？

【传统构造路径】

“使用有限域的二次剩余进行构造？这是竞赛中最经典的解法。”

“设图的顶点集为有限域F??的元素。

如果 b-a是F??中的二次剩余，则边(a， b)染成红色，否则染成蓝色。”

“开始验算。

是否存在红色K?？

这需要找到四个顶点x?，x?，x?，x?，使得它们两两之差都是二次剩余。

这等价于一个复杂的数论方程组求解……”